几何光学学习笔记（34）- 7.5 颜色的匹配
几何光学学习笔记（34）- 7.4 色度学基础
7.4 色度学基础1.三刺激值2. 光谱三剌激值或颜色匹配函数3. 色品坐标及色品图4.色度学中常用的三个光学物理量4.1 光谱反射因数和光谱辐亮度因数4.2 光谱反射比4.3 光谱透射比
5.混合色的三刺激值6.光源色和物体色的三剌激值
7.4 色度学基础
根据上述三原色定义可以推知 ：每一种颜色都对应着给定三原色的一组量值，或者说，每一组三原色的量均代表着一种颜色。颜色匹配实验证明，三原色不是唯一的。色度学就是用一组既定的三原色的量值表示出各种颜色的。可以想想一下空间向量，选用任意三个不相关的向量就可以作为基向量来表示所有的空间向量。三色匹配也是这样的。
通常用红(R）、绿(G)、蓝(B)三种颜色作为三原色。之所以这样选择，是由于红、绿、蓝三种颜色混合可以产生日常生活中绝大多数颜色，也由于这三种颜色恰好与视觉生理学中发现的敏红、敏绿和敏蓝三种感色锥体细胞相对应。
下面介绍一些色度学方面的基本概念。
1.三刺激值
色度学中是用三原色的量来表示颜色的。匹配某种颜色所需的三原色的量，称为颜色的三刺激值。用红、绿、蓝作为三原色时，颜色方程中的三原色量R， G，B就是三刺激值。
三剌激值不是用物理单位来量度的，而是用色度学的单位来量度。具体规定为:在 380nm~780nm 的波长范围内，各种波长的辐射能量均相等时，称为等能光谱色。由其构成的白光称为等能白光，简称E光源。等能白光的三刺激值是相等的，且均为 1 单位。
假定匹配等能白光所需的三原色的光通量分别
F
R
,
F
G
和
F
B
F_{R},F_{G}和F_{B}
FR,FG和FB，红、绿、蓝三种原色各 1 单位刺激值分别应
F
R
,
F
G
和
F
B
F_{R},F_{G}和F_{B}
FR,FG和FB流明的红、绿、蓝三原色的光通量；又如，用
F
R
F_{R}
FR流明的红光(R）、
F
G
F_{G}
FG流明的绿光(G)和
F
B
F_{B}
FB流明的蓝光匹配出
F
C
F_{C}
FC流明的色光(C），其能量方程为:
F
C
(
C
)
=
F
R
(
R
)
+
F
G
(
G
)
+
F
B
(
B
)
F_{C}(C)=F_{R}(R)+F_{G}(G)+F_{B}(B)
FC(C)=FR(R)+FG(G)+FB(B) 用颜色方程表示为：
(
C
)
=
R
(
R
）
+
G
(
G
)
+
B
(
B
)
(C)=R(R）+G(G)+B(B)
(C)=R(R）+G(G)+B(B) 式中 ，
R
=
F
R
/
l
R
;
G
=
F
G
/
l
G
;
B
=
F
B
/
l
B
。
R =F_{R} /l_{R}; G=F_{G} /l_{G}; B=F_{B} /l_{B} 。
R=FR/lR;G=FG/lG;B=FB/lB。
2. 光谱三剌激值或颜色匹配函数
用三刺激值可以表示各种颜色，对于各种波长的光谱色也不例外。匹配等能光谱色所需的三原色量叫做光谱兰刺激值，也叫做颜色匹配函数。对于不同波长的光谱色，其三种刺激值显然是波长的函数。用红、绿、蓝作为三原色时，光谱三刺激值或颜色匹配函数用
r
ˉ
(
l
)
,
g
ˉ
(
l
)
和
b
ˉ
(
l
)
\bar{r}(l), \bar{g}(l)和\bar{b}(l)
rˉ(l),gˉ(l)和bˉ(l)来表示。
3. 色品坐标及色品图
三原色确定后，一种颜色的三刺激值是唯一的，因此可以用三刺激值表示颜色。但是，由于准确测量三刺激值存在着技术上的困难，故常不直接用其表示颜色，而是用其在三刺激值总和中所占的比例来表示颜色。这三个比例值叫做色品坐标。假定颜色的三刺激值分别为RGB ， 色品坐标为 r ，g ，b ， 则有：
r
=
R
R
+
G
+
B
r={{R}\over{R+G+B}}
r=R+G+BR
g
=
G
R
+
G
+
B
g={{G}\over{R+G+B}}
g=R+G+BG
b
=
B
R
+
G
+
B
b={{B}\over{R+G+B}}
b=R+G+BB 因此，有
r
+
g
+
b
=
1
r+g+b=1
r+g+b=1。
在一个平面直角坐标系内，横轴表示 r ， 纵轴表示g ，则平面上任一点都有一确定的 r ， g和 1- r - g = b的值。这样一个表示颜色的平面称为色品图。在图上有三个特殊的色品点 r=l ， g=b=0； g=1, r=b=0； b=1, r=g=0。 它们正是三原色(R） ， (G)和（B)的三个色品点。此三点的连线构成一个三角形，三角形内任一点的色品坐标都是正值。代表三原色的混合可以产生的颜色。这个三角形叫做麦克斯韦颜色三角形。
4.色度学中常用的三个光学物理量
4.1 光谱反射因数和光谱辐亮度因数
在指定的方向上和限定的立体角w范围内，物体反射的辐通量
P
I
Δ
l
P_{I}\Delta l
PIΔl与相同条件下完全漫反射体所反射的辐通量
P
D
I
Δ
l
P_{DI}\Delta l
PDIΔl之比值，称为物体的光谱反射因数，可表示为：
R
(
l
)
=
(
P
I
Δ
l
)
/
(
P
D
I
Δ
l
)
R(l)=(P_{I}\Delta l)/(P_{DI}\Delta l)
R(l)=(PIΔl)/(PDIΔl) 当图中的立体角w 接近零时，
(
P
I
Δ
l
)
/
(
P
D
I
Δ
l
)
(P_{I}\Delta l)/(P_{DI}\Delta l)
(PIΔl)/(PDIΔl)称为光谱辐亮度因数，用 R(I) 表示。
4.2 光谱反射比
如果立体角w → 2π ，则
(
P
I
Δ
l
)
和
(
P
D
I
Δ
l
)
(P_{I}\Delta l)和(P_{DI}\Delta l)
(PIΔl)和(PDIΔl)分别代表物体和完全漫反射体在所有方向上反射的辐通量的总和。完全漫反射体的反射比为1，则有:
P
D
I
Δ
l
=
P
0
I
Δ
l
P_{DI}\Delta l=P_{0I}\Delta l
PDIΔl=P0IΔl 前述的光谱反射因数称为物体的光谱反射比，可表示为:
r
(
l
)
=
P
I
Δ
l
P
D
I
Δ
l
=
P
I
Δ
l
P
0
I
Δ
l
r(l)={{P_{I}\Delta l}\over{P_{DI}\Delta l}}={{P_{I}\Delta l}\over{P_{0I}\Delta l}}
r(l)=PDIΔlPIΔl=P0IΔlPIΔl 式中，
P
0
I
Δ
l
{P_{0I}\Delta l}
P0IΔl为入射到物体表面上的波长为 l 和波长宽度为
Δ
l
\Delta l
Δl 的辐通量。
4.3 光谱透射比
物体透过的光谱辐通量
P
I
Δ
l
P_{I}\Delta l
PIΔl与入射光谱辐通量
P
0
I
Δ
l
P_{0I}\Delta l
P0IΔl之比称为光谱透射比。光谱透射比是波长的函数，一般用 t (l)表示:
t
(
l
)
=
P
I
Δ
l
P
0
I
Δ
l
t(l)={{P_{I}\Delta l}\over{P_{0I}\Delta l}}
t(l)=P0IΔlPIΔl 跟前面的反射比公式相比区别就是，一个是透射一个是反射，公式表示是一样的。
5.混合色的三刺激值
设颜色(C1）和(C2)混合为颜色(C），可用颜色方程表示 ：
(
C
)
≡
(
C
1
)
+
(
C
2
)
(C)\equiv(C_{1})+(C_{2})
(C)≡(C1)+(C2) 每种颜色都可以用三原色®,(G),(B)的三刺激值来表示，则上式中的(C）， (C1), (C2)可表示为以下颜色方程：
(
C
)
=
R
(
R
)
+
G
(
G
)
+
B
(
B
)
(
C
1
)
=
R
1
(
R
)
+
G
1
(
G
)
+
B
1
(
B
)
(
C
2
)
=
R
2
(
R
)
+
G
2
(
G
)
+
B
2
(
B
)
(C)=R(R)+G(G)+B(B)\\ \\ (C_{1})=R_{1}(R)+G_{1}(G)+B_{1}(B)\\ \\ (C_{2})=R_{2}(R)+G_{2}(G)+B_{2}(B)\\
(C)=R(R)+G(G)+B(B)(C1)=R1(R)+G1(G)+B1(B)(C2)=R2(R)+G2(G)+B2(B) 那么
R
(
R
)
+
G
(
G
)
+
B
(
B
)
=
(
R
1
+
R
2
)
(
R
)
+
(
G
1
+
G
2
)
(
G
)
+
(
B
1
+
B
2
)
(
B
)
R(R)+G(G)+B(B)=(R_{1}+R_{2})(R)+(G_{1}+G_{2})(G)+(B_{1}+B_{2})(B)
R(R)+G(G)+B(B)=(R1+R2)(R)+(G1+G2)(G)+(B1+B2)(B) 若上式成立，则有：
R
=
R
1
+
R
2
G
=
G
1
+
G
2
B
=
B
1
+
B
2
R=R_{1}+R_{2}\\ \\ G=G_{1}+G_{2}\\ \\ B=B_{1}+B_{2}
R=R1+R2G=G1+G2B=B1+B2 由此可以看出，两种颜色混合成的混合色，其三刺激值等于两种颜色对应三刺激值之和。显然，上述结论可推广到多种颜色的混合。
6.光源色和物体色的三剌激值
为便于建立起颜色的三刺激值的表达式，首先介绍两个色度学概念:其一称为颜色刺激，表示作用于人眼引起颜色感觉的物理辐射通量；另一个为颜色刺激函数，表示颜色刺激与波长的关系函数，用 j (l )表示。
无论光源色或物体色(自发光、透射、反射、漫反射等)，都是可见辐射作用于人眼所形成颜色剌激的结果，也可看成是波长范围在 38o-780nm 内的各光谱色以不同的比例混合的产物。对于波长为 l 的光谱色，其三刺激值R(I ), G(I)和B (l )，应分别与其光谱三刺激值 r(l), g(I) , b (l)以及颜色刺激函数 j (l)成正比。故有
R
(
l
)
=
k
j
(
l
)
r
ˉ
(
l
)
G
(
l
)
=
k
j
(
l
)
g
ˉ
(
l
)
B
(
l
)
=
k
j
(
l
)
b
ˉ
(
l
)
R(l)=kj(l)\bar{r}(l)\\ G(l)=kj(l)\bar{g}(l)\\ B(l)=kj(l)\bar{b}(l)\\
R(l)=kj(l)rˉ(l)G(l)=kj(l)gˉ(l)B(l)=kj(l)bˉ(l) 式中 ， k为常数，称为归一化系数。当波长范围 dl 趋向于无限小时，光谱色的三剌激值为:
R
(
l
)
=
k
j
(
l
)
r
ˉ
(
l
)
d
l
G
(
l
)
=
k
j
(
l
)
g
ˉ
(
l
)
d
l
B
(
l
)
=
k
j
(
l
)
b
ˉ
(
l
)
d
l
R(l)=kj(l)\bar{r}(l)dl\\ G(l)=kj(l)\bar{g}(l)dl\\ B(l)=kj(l)\bar{b}(l)dl\\
R(l)=kj(l)rˉ(l)dlG(l)=kj(l)gˉ(l)dlB(l)=kj(l)bˉ(l)dl 波长范围 380-780nm 内所有光谱色对应的三刺激值总和就应当是被考虑颜色的三刺激值，即:
R
(
l
)
=
k
∫
380
780
j
(
l
)
r
ˉ
(
l
)
d
l
−
G
(
l
)
=
k
∫
380
780
j
(
l
)
g
ˉ
(
l
)
d
l
−
B
(
l
)
=
k
∫
380
780
j
(
l
)
b
ˉ
(
l
)
d
l
R(l)=k\int^{780}_{380}j(l)\bar{r}(l)dl\\ -\\ G(l)=k\int^{780}_{380}j(l)\bar{g}(l)dl\\ -\\ B(l)=k\int^{780}_{380}j(l)\bar{b}(l)dl\\
R(l)=k∫380780j(l)rˉ(l)dl−G(l)=k∫380780j(l)gˉ(l)dl−B(l)=k∫380780j(l)bˉ(l)dl
对于光源色，颜色刺激函数j (l)就是光源的光谱功率分布 s(l )，即j(I)=s(l)，故有:
R
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
r
ˉ
(
l
)
d
l
−
G
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
g
ˉ
(
l
)
d
l
−
B
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
b
ˉ
(
l
)
d
l
R(l)=k\int^{780}_{380}s(l)\bar{r}(l)dl\\ -\\ G(l)=k\int^{780}_{380}s(l)\bar{g}(l)dl\\ -\\ B(l)=k\int^{780}_{380}s(l)\bar{b}(l)dl\\
R(l)=k∫380780s(l)rˉ(l)dl−G(l)=k∫380780s(l)gˉ(l)dl−B(l)=k∫380780s(l)bˉ(l)dl 对于物体色，进入人眼的辐射成分既与照明光源的光谱功率分布 s(1 )有关，也与物体的光学性质(光谱透射比、光谱反射因数或反射比）有关。
对于透射体，其颜色剌激函数可写为：
j
(
l
)
=
s
(
l
)
t
(
l
)
j(l)=s(l)t(l)
j(l)=s(l)t(l) 式中，t(l)为物体光谱透射比，则三刺激值为:
R
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
t
(
l
)
r
ˉ
(
l
)
d
l
−
G
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
t
(
l
)
g
ˉ
(
l
)
d
l
−
B
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
t
(
l
)
b
ˉ
(
l
)
d
l
R(l)=k\int^{780}_{380}s(l)t(l)\bar{r}(l)dl\\ -\\ G(l)=k\int^{780}_{380}s(l)t(l)\bar{g}(l)dl\\ -\\ B(l)=k\int^{780}_{380}s(l)t(l)\bar{b}(l)dl\\
R(l)=k∫380780s(l)t(l)rˉ(l)dl−G(l)=k∫380780s(l)t(l)gˉ(l)dl−B(l)=k∫380780s(l)t(l)bˉ(l)dl
对于反射物体，其颜色刺激函数可写为：
j
(
l
)
=
s
(
l
)
R
(
l
)
j(l)=s(l)R(l)
j(l)=s(l)R(l) 式中， R(I)为物体的光谱反射因数，则三刺激值可写为
R
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
R
(
l
)
r
ˉ
(
l
)
d
l
−
G
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
R
(
l
)
g
ˉ
(
l
)
d
l
−
B
(
l
)
=
k
∫
380
780
s
(
l
)
R
(
l
)
b
ˉ
(
l
)
d
l
R(l)=k\int^{780}_{380}s(l)R(l)\bar{r}(l)dl\\ -\\ G(l)=k\int^{780}_{380}s(l)R(l)\bar{g}(l)dl\\ -\\ B(l)=k\int^{780}_{380}s(l)R(l)\bar{b}(l)dl\\
R(l)=k∫380780s(l)R(l)rˉ(l)dl−G(l)=k∫380780s(l)R(l)gˉ(l)dl−B(l)=k∫380780s(l)R(l)bˉ(l)dl